La factorisation première

La factorisation première est une façon d’exprimer un nombre comme le produit de ses facteurs premiers. Un nombre premier est un nombre qui possède exactement deux facteurs : 1 et le nombre lui-même. Découvre plus d’explications ici.

Qu’est-ce que la factorisation première ?

La factorisation en nombres premiers est une façon d’écrire un nombre comme le produit de ses facteurs premiers. Ainsi, la factorisation en nombres premiers consiste à trouver des nombres premiers qui, multipliés entre eux, donnent le nombre recherché.

Exemple de factorisation première

Le produit des nombres premiers 2, 3 et 5 est 30.

Pourquoi utiliser la factorisation première ?

Comme nous le savons, un nombre premier ne peut être divisé que par 1 et par lui-même, ce qui signifie qu’il ne peut pas être décomposé davantage. En revanche, un nombre composé peut être décomposé en nombres premiers, et cette décomposition en facteurs premiers est unique.

Nombres premiers

Les nombres premiers sont les éléments fondamentaux de tous les nombres.

Cette notion est très utile dans la vie quotidienne, notamment lorsqu’on manipule de grands nombres, par exemple en cryptographie.

La factorisation première d’un nombre

Voyons le tableau de factorisation première de quelques nombres dans le tableau ci-dessous :

Boostez la compréhension de la factorisation première et des nombres premiers et découvrez comment décomposer un nombre en facteurs premiers facilement.

Méthodes de factorisation première

Factorisation première par l’arbre des facteurs premiers

Dans la méthode de l’arbre de factorisation, on décompose un nombre en facteurs, puis on continue à factoriser ces facteurs jusqu’à obtenir uniquement des nombres premiers. Comprenons la factorisation première d’un nombre à l’aide de la méthode de l’arbre de factorisation avec l’exemple suivant.

Exemple : Faisons la factorisation première de 360 en utilisant l’arbre de factorisation.

Solution : Trouvons les facteurs premiers de 360 en suivant les étapes :

Étape 1 :

Place le nombre 360 au sommet de l’arbre.

Étape 2 :

Écris une paire de facteurs en branches. Ici, par exemple, 36 × 10.

Étape 3 :

Factorise chaque facteur composé. Ainsi, 36 = 6 × 6 et 10 = 2 × 5.

Étape 4 :

Continue à factoriser les nombres composés. On obtient :

• 6 = 2 × 3
• 6 = 2 × 3
• 2 et 5 sont déjà premiers.

Finalement, on a :

360=23×32×5

Factorisation première par division

La méthode de la division peut aussi être utilisée pour trouver les facteurs premiers d’un grand nombre en le divisant successivement par des nombres premiers. Voyons comment effectuer la factorisation première d’un nombre avec la méthode de la division à l’aide de l’exemple suivant.

Exemple : Faisons la factorisation première de 60 avec la méthode de la division.

• Étape 1 : Divise le nombre par le plus petit nombre premier qui le divise exactement. Ici, on divise 60 ÷ 2 = 30.
• Étape 2 : Divise le quotient obtenu par le plus petit nombre premier possible. On divise encore 30 ÷ 2 = 15.
• Étape 3 : Répète l’opération jusqu’à ce que le quotient soit 1. Comme 15 n’est pas divisible par 2, on passe au prochain nombre premier qui est 3. Ainsi, 15 ÷ 3 = 5. Puis, 5 ÷ 5 = 1. On s’arrête ici.
• Étape 4 : Multiplie tous les nombres premiers utilisés comme diviseurs.

60=2×2×3×5=22×3×5

Que sont les facteurs premiers ?

Les facteurs premiers d’un nombre sont les nombres premiers qui, multipliés entre eux, donnent le nombre d’origine.

Exemple : Les facteurs premiers de 20 sont 2 et 5, car :

20=2×2×5

Nous savons que les facteurs d’un nombre sont simplement les nombres qui, multipliés entre eux, donnent le nombre d’origine.

Exemple : Les facteurs de 20 incluent 4 et 5, car :

20=4×5

Il faut donc noter que tous les facteurs d’un nombre ne sont pas forcément des facteurs premiers.

Exemples de factorisation première

Exercice 1 :

Fais la factorisation première de 48.

Solution :
48 ÷ 2 = 24
24 ÷ 2 = 12
12 ÷ 2 = 6
6 ÷ 2 = 3 (premier)

48=24×3

Exercice 2 :

Décompose 84 en facteurs premiers.

Solution :
84 ÷ 2 = 42
42 ÷ 2 = 21
21 ÷ 3 = 7 (premier)

84=22×3×7

Exercice 3 :

Trouve les facteurs premiers de 105.

Solution :
105 ÷ 3 = 35
35 ÷ 5 = 7 (premier)

105=3×5×7

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