Un facteur premier est un concept mathématique qui exprime un facteur, qui est un nombre premier. Il est communément utilisé pour simplifier des divisions. Ce texte aborde la marche à suivre afin de réaliser une décomposition en facteur premier.
Qu’est-ce qu’un facteur premier?
Un facteur premier est un nombre entier qui est supérieur à 1 et qui ne peut être divisé que par lui-même et 1. Par exemple, les nombres 2,3,5,7 et 11 sont des nombres premiers, car il est uniquement possible de les diviser par 1 et par eux-mêmes. Il est impossible de diviser ces nombres par d’autres nombres entiers. C’est un concept appelé algorithmes de décomposition. Ils jouent un rôle clef en mathématique, puisque tout nombre entier peut être exprimé comme un produit de facteurs premiers. Par exemple, le nombre 12 peut être décomposé ainsi: 12=2x2x3.
Voici tout la liste des nombres premiers jusqu’à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Facteur premier et décomposition
Les facteurs premiers sont des nombres qui ne peuvent être divisés que par 1 et par eux-mêmes. Par exemple, le nombre 6 a pour facteurs premiers 2 et 3, car 2 x 3 = 6. Quand on décompose un nombre en ses facteurs premiers, on obtient ce qu’on appelle le produit de facteurs premiers. Cela signifie que chaque nombre peut être exprimé comme une multiplication de ces petits nombres spéciaux. C’est une façon de mieux comprendre comment les nombres sont construits !
La décomposition en facteurs premiers
La décomposition en facteurs premiers est l’un des type de décomposition en mathématique, et a plusieurs synonymes. On l’appelle aussi la factorisation première, la factorisation entière, la décomposition en éléments ou la décomposition rapide et elle consiste à écrire un nombre entier comme le produit de facteurs premiers. Cette technique est importante, puisqu’elle est unique à chaque nombre, selon le théorème fondamental de l’arithmétique. Voici un autre exemple de produit de facteurs premiers , cette fois-ci avec le chiffre 36 ou la décomposition attendue serait: 36=2x2x3x3.
Les algorithmes pour trouver les facteurs premiers
Les facteurs premiers sont des nombres qui ne peuvent être divisés que par 1 et par eux-mêmes. Pour les trouver, on peut utiliser des algorithmes de factorisation, qui sont des étapes précises pour décomposer un nombre. Une méthode amusante est la factorisation en courbe, où on dessine des lignes pour représenter les différents facteurs. Cela rend l’apprentissage plus visuel et plus facile à comprendre. Même pour des nombres de taille raisonnable, ces techniques nous aident à mieux voir comment les nombres se divisent en facteurs premiers !
L’algorithme de décomposition pour un facteur premier
Afin d’effectuer adéquatement une décomposition en facteurs premiers, il suffit de suivre un algorithme simple de factorisation en facteurs premiers:
1- Divisez le nombre par le plus petit facteur premier possible (souvent 2,3 ou 5).
2- Répétez avec le quotient obtenu et ce, jusqu’à ce que le quotient soit lui aussi un 1er facteur.
Par exemple, pour décomposer 30, la factorisation par divisions serait:
1- 30/2=15 (15 ne se divise pas par 2).
2- 15/3=5 (5 est un 1er facteur).
Alors, la décomposition de 30, aussi appelé le produit de facteurs premiers de 30 est: 30=2x3x5.
Méthode de décomposition d’un facteur premier
Tel que vu plus haut, la méthode la plus courante consiste à diviser le nombre initial par le plus petit 1er facteur premier et répéter ce processus jusqu’à ce qu’il n’y ait que des facteurs premiers. Par exemple, la factorisation entière pour le nombre 50:
50/2=25, 25/5=5, 5 n’est divisible que par 1 et lui-même, la décomposition s’achève ici.
Donc, la décomposition en produit des facteurs de 50, aussi appelé le produit de facteurs premiers de 50 est: 50=2x5x5.
Outil de décomposition
De nombreux outils de décomposition sont disponibles. Les calculatrices scientifiques ou encore certains logiciels mathématiques permettent de réaliser la décomposition en facteurs premiers efficacement. Par exemple, pour un nombre plus complexe comme 2024, ce genre d’outil donnerait rapidement la décomposition: 2024=2x2x2x2x11x23. Il serait tout de même possible de parvenir à ce résultat à l’aide de la méthode classique, mais le processus serait plus rapide. Par ailleurs, il est possible d’écrire la décomposition précédente de la manière suivante: 2024=2⁴x11x23, afin de simplifier l’équation.
L’arbre des facteurs premiers
Un arbre des facteurs premiers est un outil visuel qui illustre la manière dont un nombre est décomposé en facteurs premiers.
Exemple de l’arbre des facteurs
Par exemple, pour décomposer le nombre 48, l’arbre peut se présenter ainsi:
48
/ \
2 24
/ \
2 12
/ \
2 6
/ \
2 3
Il suffit de multiplier chaque nombre premier complètement à gauche, ainsi que les deux derniers nombres premiers de l’arbre. Donc, la décomposition en produit des facteurs premiers de 48 est: 48=2x2x2x2x3.
Critère de divisibilité
Les critères de divisibilité simplifient la décomposition d’un nombre en facteurs et l’identification d’une liste des diviseurs communs. Par exemple, un nombre est divisible par 2 s’il est pair, et par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par trois. Par exemple, le nombre 126 est divisible par 2 et par 3, puisqu’il est pair et puisque la somme de ses chiffres (1+2+6=9) est divisible par 3. Ces critères peuvent être utiles pour accélérer la décomposition en facteurs premiers et pour trouver le commun diviseur de plusieurs nombres.
Application des facteurs premiers
Les facteurs premiers sont largement utilisés dans plusieurs domaines mathématiques et scientifiques, notamment dans la résolution d’équations, la simplification des factions et la cryptographie.
Résolution d’équation
Les facteurs premiers peuvent être utilisés pour résoudre des équations plus facilement. Par exemple, l’équation x²−12x+36=0, peut être factorisé en (x−6)(x−6)=0(x – 6)(x – 6) = 0(x−6)(x−6)=0, ce qui permet de résoudre l’équation plus rapidement.
Simplification des fractions
Pour simplifier les fractions, la décomposition en facteurs premiers des numérateurs et des dénominateurs permet de réduire la fraction à sa plus simple forme. Par exemple, avec la fraction 42/56
La décomposition en facteurs premiers de 42 est: 42=2x3x7
La décomposition en facteurs premiers de 56 est: 56=2x2x2x7
En annulant les facteurs communs (2 et 7), la fraction simplifiée devient: 42/56=3/4
Le facteur premier
En résumé, les facteurs permettent de décomposer tout nombre entier en un produit unique de facteurs premiers. Cette technique est cruciale pour simplifier les fractions, résoudre des équations et garantir la sécurité des systèmes cryptographiques. Leur décomposition, bien qu’elle puisse être complexe pour de grands nombres, reste un outil essentiel pour de nombreuses applications pratiques.